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In mwbqlogica, e più in generale in mwbgmatematica un mwbwcontroesempio è un fatto particolare che dimostra che una certa mwcacongettura generale è falsa.

Costruire esplicitamente un controesempio è il metodo più naturale ed efficace per confutare dei mwcgteoremi. Ad esempio, consideriamo l'affermazione seguente: "tutti i gatti sono neri". Questa affermazione è indubbiamente falsa, ma come facciamo a dimostrarlo? Semplicemente, mostrando al mondo l'esistenza di un gatto di un altro colore.

Questo esempio, a prima vista banale, si estende in tutti gli ambiti della matematica, a vari livelli. Per esempio, molte congetture famose sono asserzioni che valgono in una certa generalità: ad esempio la mwdacongettura di Fermat (dimostrata da mwdqAndrew Wiles nel mwdg1995) sostiene che:

mweqnon esistono soluzioni intere positive all'equazione: mweg a n + b n = c n {\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}} per mwew n > 2 {\displaystyle n>2} .

Un mwfqcontroesempio per questa congettura sarebbe una terna di numeri mwfg a {\displaystyle a} , mwfw b {\displaystyle b} e mwga c {\displaystyle c} , e un altro intero mwgq n > 2 {\displaystyle n>2} che soddisfino questa relazione.

I matematici che si trovano di fronte una congettura, o più generalmente un problema di cui non sanno la soluzione, hanno generalmente davanti a sé due strade percorribili: tentare di mwgwdimostrarla, o cercare un controesempio (e in questo caso l'utilizzo intensivo di mwhacomputer può essere di grande aiuto). Addirittura per alcuni matematici (i cosiddetti mwhqintuizionisti), un controesempio è l'unico modo per poter dimostrare la falsità di un teorema dove le configurazioni possibili da verificare sono infinite.

• Esempio

• Voci correlate

Proviamo, per esempio, a dimostrare che:

mwigper ogni numero reale positivo vale mwiw 2 n + n 3 ≥ ≥ n n {\displaystyle 2^{n}+n^{3}\geq n^{n}}

è falsa. Con mwjq n = 1 {\displaystyle n=1} la proposizione è vera, ma, se proviamo con un altro numero, come mwjg n = 10 {\displaystyle n=10} , si ottiene:

mwkq 2 10 + 10 3 ≥ ≥ 10 10 ⇒ ⇒ 2024 ≥ ≥ 10000000000 {\displaystyle 2^{10}+10^{3}\geq 10^{10}\ \ \Rightarrow \ \ 2024\geq 10000000000}

che è evidentemente falso. Il controesempio ci dice che il teorema, mwkwin generale (cioè estendendo il concetto a tutto l'insieme), non vale per tutti i numeri reali positivi.

• mwlwCongettura

• mwmqTeorema